CALCUL DES PROBABILITES

La probabilité d'un événement est le pourcentage de "chances" que cet évenement se réalise.

Par exemple si un événement a 25 chances sur 100 de se réaliser, on dira que sa probabilité est de 25% (ou 0,25 ou 1/4)

Une probabilité est donc toujours comprise entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%)

On note en général un événement sous la forme d'une lettre majuscule : A, B...

On notera P(A) la probabilité que l'événement A se réalise. Dans l'exemple, on note P(A) = 0,25.

On notera "non A" l'événement contraire de A, c'est à dire celui qui se réalise quand A ne se réalise pas et inversement.

Dans l'exemple, la probabilité de "non A" (qui est la probabilité que A ne se réalise pas) vaut 0,75 = 1 - 0,25.

On aura toujours P(A) + P(non A) = 1, en effet A et nonA sont des événements qu'on qualifie d'incompatibles (car ils ne peuvent se réaliser simultanément); de plus l'un des deux doit forcément se réaliser.

On en déduit : P(non A) = 1 - P(A)

A partir de deux événements A et B, on peut définir deux nouveaux événements : "A ou B"   "A et B"

- "A ou B" est réputé se réaliser si soit A, soit B, soit les deux, se réalisent

- "A et B" est réputé se réaliser si  A et B se réalisent simultanément

Exemple :

On considère un jeu de 52 cartes. On en tire une carte au hasard. 
        A est l'événement "la carte tirée est un Pique"
        B est l'événement "la carte tirée est une Dame"

"non A" est l'événement "la carte tirée n'est pas un Pique" ou bien, ce qui revient au même : "la carte tirée est un Coeur ou un Carreau ou un Trèfle"

"A ou B" est l'événement "la carte tirée est un Pique ou une Dame"

"A et B" est l'événement "la carte tirée est un Pique et une Dame" (c'est à dire la Dame de Pique).

Essayons de déterminer intuitivement les probabilités de ces différents événements :

Il y a 52 cartes dans ce paquet; chacune d'entre elle a les mêmes chances d'être choisie que ses congénères; il y a 13 cartes à Pique (de même à Coeur, à Carreau ou à trèfle); il y a 4 Dames (comme 4 Valets ou 4 Rois ou...)

On a donc 13 chances sur 52 de tirer un Pique

P(A) vaut donc 13/52 soit 1/4 soit 0,25 soit 25%

"non A" se réalise quand la carte tirée est soit un Coeur, soit un Carreau, soit un Trèfle, soit 39 cartes sur les 52 possibles, donc :

P(non A) = 39/ 52 = 3/4 = 75% =0,75  = 1 - 0,25 = 1 - P(A)

"A et B" se réalise si la carte tirée est la Dame de Pique, soit 1 fois sur 52 :

P(A et B) = 1/52

"A ou B" se réalise si la carte tirée est soit un Pique, soit une Dame :

:


Il y a 13 cartes à Pique et 4 Dames, la carte tirée peut être n'importe laquelle mais.....il y a 2 fois la Dame de Pique !

Il y a donc 16 cartes qui permettent de réaliser l'événement : 13 + 4 - 1 (il faut retirer la Dame de Pique qui a été comptée deux fois)

On a donc 16 chances sur 52 de tirer soit un Pique, soit une Dame

Donc P(A ou B) = 16/52 = 4/13

Essayons de tirer une généralité de cet exemple :

P(non A) = 39/52 et P(A) = 13/52 : 

P(A ou B) = (13 + 4 - 1) / 52 = 13/52 + 4/52 - 1/52

13/52 = Probabilité de tirer un Pique, soit P(A)

4/52 = Probabilité de tirer une Dame, soit P(B)

1/52 = Probabilité de tirer la Dame de Pique, soit à la fois un Pique et une Dame, soit P(A et B)

La probabilité que "A ou B" se réalise s'obtient en additionnant la probabilité de A avec celle de B et en retirant la probabilité de "A et B" (qui a été compté deux fois, une fois dans les cas de A et une fois dans les cas de B)

Donc : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B)

Si A et B sont incompatibles, la formule ci-dessus se simplifie car "A et B" ne peut pas se réaliser :et donc P(A et B) = 0 :
P(A ou B) = P(A)+P(B)

 

Dans l'exemple A et B sont aussi des événements indépendants, c'est à dire des événements dont la réalisation de l'un n'influe pas sur la réalisation de l'autre :
Que A soit réalisé ou non, ça ne change pas la Probabilité que B se réalise
Si on sait que la carte tirée est un Pique, quelle est la probabilité que ce soit une Dame? Réponse : 1/13, 1 chance sur 13, une seule Dame parmi les 13 Piques !
 P(B) = 1/13 que A soit réalisé ou non.
De même, si on sait que la carte tirée est une Dame, quelle est la probabilité que ce soit un Pique? Réponse : 1/4, 1 chance sur 4, 1 seul Pique parmi les Dames.
P(A) = 1/4 que B soit réalisé ou non.

On peut, à partir de cet exemple, définir la notion de probabilité conditionnelle :

Une probabilité conditionnelle sera la probabilité qu'un événement se réalise en supposant qu'un autre s'est réalisé :
P(A si B) = Probabilité que l'événement A se réalise, non pas dans l'absolu, mais en se restreignant aux cas où B s'est réalisé
Attention, on calcule bien la probabilité de A;    B est la condition.

On peut, à la lumière de cette nouvelle notion, redéfinir la notion d'événements indépendants :

Deux événements A et B sont indépendants quand P(A si B) = P(A), quand la réalisation de B n'influe pas sur celle de A; que B soit réalisé ou non, la probabilité que A se réalise reste inchangée.
ou bien, ce qui revient au même

Deux événements A et B sont indépendants quand P(B si A) = P(B), la réalisation de A n'influe pas sur celle de B; que A soit réalisé ou non, la probabilité que B se réalise reste inchangée.

Comment calculer la probabilité que A et B se réalisent simultanément, dans le cas général ?

Eh bien, on peut procéder par étapes : on peut commencer par déterminer la probabilité de A, puis celle de B en supposant  A  réalisé , et multiplier les deux
P(A et B) = P(A) x P(B si A)

Si A et B sont indépendants, cette formule se simplifie car P(A si B) = P(A)  :
P(A et B) = P(A) x P(B)


Exemple :
Si on tire deux cartes d'un jeu de 52 cartes, l'une après l'autre sans remettre la première (on dit : sans remise), quelle est la probabilité qu'on ait 2 Piques ?
Si on formalise un peu le problème, on peut définir l'événement A : "la 1ère carte tirée est un Pique" et l'événement B : "la 2ème carte tirée est un Pique"
Le fait d'avoir tiré deux Piques apparait donc comme l'événement "A et B".

     P(A) = 13/52

     P( B si A ) = 12/51 en effet, si A s'est réalisé, il ne reste plus que 12 Piques dans un paquet de maintenant 51 cartes !

     P(A et B) = P(A) x P(B si A) = (13/52) x (12/51) = (13x12) / (52x51)

Problème type sur les probabilités conditionnelles
et méthode intuitive et révolutionnaire pour le résoudre

3 usines A, B et C fabriquent des pièces. Elles se partagent le marché de la manière suivante : 55% pour A, 35% pour B et 10% pour C. Certaines pièces fabriquées sont défectueuses; le taux de pièces défectueuses est de 10% dans l'usine A, 8% dans l'usine B et 20% dans l'usine C.

On voudrait calculer un certain nombre de valeurs, par exemple :

- probabilité qu'une pièce mise sur le marché soit défectueuse

- probabilité qu'une pièce défectueuse vienne de A

- probabilité qu'une pièce non défectueuse vienne de B...

Ce type de problème est classique et donne lieu à deux types de résolution en général : 

-Méthode 1 : très compliquée avec des formules partout et applications de théorèmes et définitions

-Méthode 2 : construction d'arbres pour symboliser le problème;

Aucune de ces deux méthodes ne convient, parce qu'elles sont appliquées comme des recettes de cuisine, sans comprendre ce qu'on fait;

Il est temps d'évoluer, de passer des arbres aux cases !! (cf Darwin)

Traduisons toutes les données de l'énoncé dans un tableau et voyons ce que l'on peut en déduire,

Fixons la production globale, par exemple à 1000 pièces (on aurait pu prendre un autre nombre, le choix est arbitraire et n'influe pas sur la résolution du problème mais il vaut mieux faire en sorte de ne pas avoir de nombres décimaux à trainer...)

55% des pièces proviennent de A, soit 550,  35% des pièces proviennent de B, soit 350  10% des pièces proviennent de C, soit 100

Défectueuses Pas Défectueuses TOTAL
A . . 550
B . . 350
C . . 100
TOTAL . . 1000

10% des pièces provenant de A sont défectueuses, soit 55 = 550 x 0,10
8% des pièces provenant de B sont défectueuses, soit 28 = 350 x 0,08
20% des pièces provenant de C sont défectueuses, soit 20 = 100 x 0,20

Défectueuses Pas Défectueuses TOTAL
A 55 . 550
B 28 . 350
C 20 . 100
TOTAL 103 . 1000

On peut, par soustraction déduire la valeur des cases de droite (non défectueuses)

Défectueuses Pas Défectueuses TOTAL
A 55 505 550
B 28 322 350
C 20 80 100
TOTAL 103 . 1000

Le calcul de la dernière case peut s'effectuer de deux manières et permettre la vérification des calculs précédents : 1000-103 ou 505+322+80 = 897

Défectueuses Pas Défectueuses TOTAL
A 55 505 550
B 28 322 350
C 20 80 100
TOTAL 103 897 1000

Une fois ce tableau constitué, vous êtes à même de répondre à toutes les questions posées (et les autres)

- probabilité qu'une pièce mise sur le marché soit défectueuse = 103/1000 = 10,3%

- probabilité qu'une pièce défectueuse vienne de A = 55/103 (parmi les défectueuses, lesquelles viennent de A?)

- probabilité qu'une pièce non défectueuse vienne de B = 322/897 (parmi les non défectueuses, lesquelles viennent de B?)

- probabilité qu'une pièce soit défectueuse et vienne de C = 20/1000 (parmi toutes les pièces, il y en a 20 à la fois défectueuses et venant de C)

La Notion de Probabilité conditionnelle permet d'établir un résultat important en Calcul des Probabilités : le Théorème de Bayes

A et B est le même événement que B et A, ils ont donc la même probabilité; si on applique la formule précédente à B et A, on obtient :

P(B et A) = P(B) x P(B si A)

On a donc P(A et B) = P(A) x P(A si B) = P(B et A) = P(B) x P(B si A)
donc P(A) x P(A si B) = P(B) x P(B si A)
donc : P(B si A) = P(A si B) x P(A) / P(B)
Cette formule permet de calculer des probabilités dites a posteriori

On peut utiliser les probabilités conditionnelles pour calculer des probabilités complexes : 

Supposez par exemple, que vous ayez à calculer la probabilité d'un événement B et que celle-ci soit difficile à établir.

Subdivisez la réalité en plusieurs cas, par exemple A1, A2, A3, A4, A5; si vous avez bien choisi les cas, il sera plus facile de déterminer les probabilités suivantes :
P(A1) P(A2) P(A3) P(A4) P(A5) et P(B si A1) P(B si A2) P(B si A3) P(B si A4) P(B si A5) 

Et d'agréger ensuite le tout :

La probabilité de B est la résultante des probabilités de B dans chacun des cas A1,A2,A3,A4,A5 en tenant compte de l'importance respective de chacun des cas, soit :
P(B) = P(B si A1)xP(A1)   +   P(B si A2)xP(A2)   +   +P(B si A3)xP(A3)   +   P(B si A4)xP(A4)   +   P(B si A5)xP(A5) 
Cette Formule s'appelle Formule des probabilités totales

La Formule des probabilités totales et le TH de Bayes  peuvent vous sembler compliquées, vous les avez pourtant appliquer intuitivement en résolvant le Problème Type sur les Pièces défectueuses.

Reprenons :

- probabilité qu'une pièce mise sur le marché soit défectueuse = 103/1000 = 10,3%

Comment obtient-on le 103 ?
En additionnant 55, 28 et 20. Donc 103/1000 = 0,055 + 0,028 + 0,020

en notant D l'événement "la pièce est défectueuse"

Comment obtient-on 55 ? En multipliant 550 par 0,10, soit 1000 par 0,55 puis par 0,10.  0,55 = P(A) et 0,10 = P(D si A)
Comment obtient-on 28 ? En multipliant 350 par 0,08, soit 1000 par 0,35 puis par 0,08.   0,35 = P(B) et 0,10 = P(D si B)
Comment obtient-on 20 ? En multipliant 100 par 0,20, soit 1000 par 0,10 puis par 0,20.   0,10 = P(C) et 0,20 = P(D si C)

Donc  P(D) = 93/1000 = (0,55 x 0,10) + (0,35 x 0,08) + (0,10 x0,20) = P(A)xP(D si A)   +   P(B)xP(D si B)   + P(C)xP(D si C)
Formule des probabilités totales

- probabilité qu'une pièce défectueuse vienne de A = 55/103 = 0,055/0,103

Donc P(A si D) = 0,55 x 0,10 / 0,103 = P(A) x P(D si A) / P(D)
TH de Bayes